Question

10．已知函數(shù)f（x）在定義域（-∞，+∞）上為奇函數(shù)，且當x＜0時，f（x）=x²+x+1，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析 當x＞0時，-x＜0，由已知表達式可求得f（-x），根據(jù)奇函數(shù)的性質可得f（x）與f（-x）的關系式，求出x＞0時的表達式，再推出f（0）=0，可得答案．

解答 解：當x＞0時，-x＜0，
∵x＜0時，f（x）=x²+x+1，
∴f（-x）=（-x）²+（-x）+1=x²-x+1，
又f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-（x²-x+1）=-x²+x-1，
∴當x＞0時，f（x）=-x²+x-1，
又f（0）=0滿足題意，
綜上得，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+x+1，x＜0\\ 0，x=0\\{-x}^{2}+x-1，x＞0\end{array}\right.$．

點評 本題考查函數(shù)解析式的求解及函數(shù)奇偶性的應用，屬基礎題，解決該類題目要注意所求解析式對應的x的范圍．