Question

4．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F，橢圓過（2，$\sqrt{2}$）且離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
（1）求橢圓的標準方程；
（2）A為橢圓上異于橢圓左右頂點的任意一點，B與A關于原點O對稱，直線AF交橢圓于另外一點C，直線BF交橢圓于另外一點D，
①求直線DA與直線DB的斜率之積
②判斷直線AD與直線BC的交點M是否在一條直線上？說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的離心率以及橢圓過點，建立方程關系求出a，b即可求橢圓的標準方程；
（2）利用設而不求的思想設出A，B的坐標沒求出直線DA，DB的斜率即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$∴a²=2b²…（2分）
將$A（2，\sqrt{2}）$代入橢圓方程得$\frac{4}{a^2}+\frac{2}{b^2}=1$
解得a²=8，b²=4
故所求橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$…（5分）
（2）①設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則B（-x₁，-y₁），${k_{DA}}•{k_{DB}}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}•\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}+{x_1}}}=\frac{y_2^2-y_1^2}{x_2^2-x_1^2}$
∵A，D都在橢圓上，∴$x_1^2+2y_1^2=8$，$x_2^2+2y_2^2=8$
∴$y_2^2-y_1^2=4-\frac{1}{2}x_2^2-（4-\frac{1}{2}x_1^2）=-\frac{1}{2}（x_2^2-x_1^2）$∴${k_{DA}}•{k_{DB}}=-\frac{1}{2}$．  …（10分）
②M在定直線x=4上．                                          …（11分）
∵${k_{DB}}={k_{BF}}=\frac{y_1}{{{x_1}+2}}$，∴${k_{DA}}=-\frac{{{x_1}+2}}{{2{y_1}}}$
∴直線AD的方程為$y-{y_1}=-\frac{{{x_1}+2}}{{2{y_1}}}（x-{x_1}）$①
同理，直線BC的方程為$y+{y_1}=-\frac{{{x_1}-2}}{{2{y_1}}}（x+{x_1}）$②
由②-①得$2{y_1}=-\frac{{{x_1}-2}}{{2{y_1}}}（x+{x_1}）+\frac{{{x_1}+2}}{{2{y_1}}}（x-{x_1}）$
整理得$2x_1^2+4y_1^2=4x$③
∵$x_1^2+2y_1^2=8$
∴x=4
所以直線AD與BC的交點M在定直線x=4上．                  …（16分）

點評 本題主要考查橢圓方程的求解以及直線和橢圓方程的位置關系的應用，利用設而不求的思想以以及點差法是解決本題的關鍵．