已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx是R上的奇函數(shù),且f(1)=3,f(2)=12;
(1)求a,b,c的值;
(2)若(a-1)3+2a-4=0,(b-1)3+2b=0,求a+b的值;
(3)若關(guān)于x的不等式f(x2-4)+f(kx+2k)<0在(0,1)上恒成立,求k的取值范圍.
考點(diǎn):函數(shù)恒成立問題,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)
專題:綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)由f(-x)=-f(x)得:b=0,由f(1)=3,f(2)=12即可求得a與c;
(2)依題意知,f(a-1)=2且f(b-1)=-2,利用導(dǎo)數(shù)法易判斷奇函數(shù)f(x)=x3+2x為增函數(shù),從而可得a+b=2.
(3)f(x2-4)+f(kx+2k)<0在(0,1)上恒成立?x2+kx+2k-4<0在(0,1)上恒成立,構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2+kx+2k-4,由
g(0)≤0
g(1)≤0
即可求得k的取值范圍.
解答: 解:(1)由f(-x)=-f(x)得:b=0,
又f(1)=a+c=3,f(2)=8a+2c=12,
解得:a=1,c=2;
∴a=1,b=0,c=2;
(2))∵f(x)=x3+2x,
又(a-1)3+2a-4=0,(b-1)3+2b=0,
∴(a-1)3+2(a-1)=2,(b-1)3+2(b-1)=-2,
∴f(a-1)=2且f(b-1)=-2,
即f(a-1)=-f(b-1),
∴f(a-1)=f(1-b),
∵f′(x)=3x2+2>0,故f(x)=x3+2x為增函數(shù),
∴a-1=1-b,
∴a+b=2.
(3)∵f(x2-4)+f(kx+2k)<0在(0,1)上恒成立,即f(x2-4)<f(-kx-2k)在(0,1)上恒成立,
即x2-4<-kx-2k在(0,1)上恒成立,
即x2+kx+2k-4<0在(0,1)上恒成立,
令g(x)=x2+kx+2k-4,
g(0)≤0
g(1)≤0
,即
2k-4≤0
3k-3≤0
,
解得:k≤1.
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)恒成立問題,著重考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與綜合應(yīng)用能力,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知復(fù)數(shù)z=
2+i
1+i
,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在( 。
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

解不等式:
4x-1
4x+1
1
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=a,an+1=1+
1
an
.若
3
2
<an<2(n≥4),求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求y=-x2+2ax在x∈(1,2)的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)=
b-2x
2x+1
是奇函數(shù)
(1)求b的值;
(2)判斷f(x)的單調(diào)性,并用單調(diào)性定義證明;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(t-2t2)+f(-k)>0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=0,an+1+Sn=n2+2n(n=1,2,3,…),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

經(jīng)過兩點(diǎn)P(2,4)、Q(3,-1)且在x軸上截得的弦長為6的圓的方程為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定點(diǎn)P(
3
,
1
2
),M,N是曲線C:
x2
4
+y2=1上兩動(dòng)點(diǎn),且直線PM,PN的傾斜角互補(bǔ),則直線MN的斜率為
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案