Question

已知定點(diǎn)P（

3

，

1

2

），M，N是曲線C：

x2

4

+y²=1上兩動(dòng)點(diǎn)，且直線PM，PN的傾斜角互補(bǔ)，則直線MN的斜率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出直線PM的方，橢圓方程與直線PM方程聯(lián)立求出M的橫坐標(biāo)與斜率的關(guān)系，同樣求出N的橫坐標(biāo)與斜率的關(guān)系；再根據(jù)M，N在直線PM、PN上，求出其縱坐標(biāo)，即可得到直線MN的斜率，可得結(jié)論．

解答： 解：設(shè)直線PM的方程為y-

1

2

=k（x-

3

），與曲線C：

x2

4

+y²=1聯(lián)立，消去y可得
（1+4k²）x²-8k（-

3

k+

1

2

）x+4（-

3

k+

1

2

）²-4=0，
∵P在橢圓上，
∴

3

xM=

12k2-4 3 k-3

1+4k2

，
∴x_M=

4 3 k2-4k- 3

1+4k2

，
∵直線PM，PN的傾斜角互補(bǔ)，
∴直線PM，PN的斜率互為相反數(shù)，
∴x_N=

4 3 k2+4k- 3

1+4k2

．
∴y_M-y_N=k（x_M+x_N-2

3

）=

-4 3 k

1+4k2

．
∵x_M-x_N=

-8k

1+4k2

∴直線MN的斜率kMN=

yM-yN

xM-xN

=

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查運(yùn)用韋達(dá)定理進(jìn)行求解，屬于中檔題．