Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²-lnx．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；
（2）令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，注意定義域；
（3）求得f（x）的單調(diào)區(qū)間，即可得到所求極值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$，
曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為k=1，
切點(diǎn)為（1，1），
即有曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-1=x-1，
即為y=x；
（2）由f′（x）＞0，即2x-$\frac{1}{x}$＞0，（x＞0），
解得x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
則函數(shù)的遞增區(qū)間為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）；
（3）當(dāng)x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$處f（x）取得極小值，且為$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$ln2，無(wú)極大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．