Question

13．在距A城市45千米的B地發(fā)現(xiàn)金屬礦，過A有一直線鐵路AD．欲運(yùn)物資于A，B之間，擬在鐵路線AD間的某一點(diǎn)C處筑一公路到B． 現(xiàn)測得BD=27$\sqrt{2}$千米，∠BDA=45°（如圖）．已知公路運(yùn)費(fèi)是鐵路運(yùn)費(fèi)的2倍，設(shè)鐵路運(yùn)費(fèi)為每千米1個(gè)單位，總運(yùn)費(fèi)為y．為了求總運(yùn)費(fèi)y的最小值，現(xiàn)提供兩種方案：方案一：設(shè)AC=x千米；方案二設(shè)∠BCD=θ．
（1）試將y分別表示為x、θ的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）、y=g（θ）；
（2）請(qǐng)選擇一種方案，求出總運(yùn)費(fèi)y的最小值，并指出C點(diǎn)的位置．

Answer 1

分析 解：（1）在△ABD中，由余弦定理可解得：AD=63，方案一：在△ABC中利用余弦定理可得BC²=x²+45²-2x×45×cosA整理即可得解．方案二：在△BCD中，由正弦定理可得BC=$\frac{27}{sinθ}$，CD=$\frac{27（sinθ+cosθ）}{sinθ}$，利用g（θ）=AC•1+BC•2=AD-CD+2BC即可得解．
（2）若用方案一，由y=x+2$\sqrt{{x}^{2}-72x+4{5}^{2}}$，可得3x²+2（y-144）x-y²+8100=0．由△≥0即可解得y的最小值．若用方案二，則可求y′=27$\frac{1-2cosθ}{si{n}^{2}θ}$，由g（θ）在（0，$\frac{π}{3}$）單調(diào)遞減，在（$\frac{π}{3}$，π）單調(diào)遞增，可得y_min=36+27$\frac{2-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=36+27$\sqrt{3}$，從而得解．

解答 解：（1）在△ABD中，由余弦定理可得：AB²=BD²+AD²-2BD•AD•cos∠BDA，即：45²=（27$\sqrt{2}$）²+AD²-2×$27\sqrt{2}×AD×cos45°$，
解得：AD=63；…（2分）
方案一：在△ABC中，BC²=x²+45²-2x×45×cosA=x²+45²-72x=（x-36）²+27²，
∴f（x）=AC+2BC=x+2$\sqrt{（x-36）^{2}+2{7}^{2}}$，…（5分）
方案二：在△BCD中，BC=$\frac{27\sqrt{2}sin45°}{sinθ}$=$\frac{27}{sinθ}$，CD=$\frac{27\sqrt{2}sin（θ+45°）}{sinθ}=\frac{27（sinθ+cosθ）}{sinθ}$，
g（θ）=AC•1+BC•2=AD-CD+2BC=63+27（$\frac{2}{sinθ}-\frac{sinθ+cosθ}{sinθ}$）=36+27$\frac{2-cosθ}{sinθ}$． …（9分）
（2）若用方案一，則y=x+2$\sqrt{{x}^{2}-72x+4{5}^{2}}$
⇒（y-x）²=4（x²-72x+45²）
⇒3x²+2（y-144）x-y²+8100=0．…（11分）
由△≥0得（y-144）²+3（y²-8100）≥0，
⇒y²-72y-891≥0
⇒y≥36+27$\sqrt{3}$．
…（14分）
∴y_min=36+27$\sqrt{3}$，這時(shí)x=$\frac{144-y}{3}=36-9\sqrt{3}$，C距A地36-9$\sqrt{3}$千米．…（16分）
若用方案二，則y′=27$\frac{si{n}^{2}θ-（2-cosθ）cosθ}{si{n}^{2}θ}$=27$\frac{1-2cosθ}{si{n}^{2}θ}$，…（11分）
g（θ）在（0，$\frac{π}{3}$）單調(diào)遞減，在（$\frac{π}{3}$，π）單調(diào)遞增．
∴y_min=36+27$\frac{2-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=36+27$\sqrt{3}$．…（14分）
這時(shí)$θ=\frac{π}{3}$，C距A地36-9$\sqrt{3}$千米．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，不等式的解法，導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．