Question

3．某數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，記其公比為q，前n項(xiàng)和為S_n，若S_n+1，S_n，S_n+2成等差數(shù)列，q=-2．

Answer 1

分析 首先由S_n+1，S_n，S_n+2成等差數(shù)列，可得2S_n=S_n+1+S_n+2，然后利用等比數(shù)列的求和公式分別表示S_n+1，S_n，S_n+2，注意分q=1和q≠1兩種情況討論，解方程即可．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，前n項(xiàng)和為S_n，
且S_n+1，S_n，S_n+2成等差數(shù)列，則2S_n=S_n+1+S_n+2，
若q=1，則S_n=na₁，顯然不成立，
若q≠1，則為$\frac{2{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n+1}）}{1-q}$+$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n+2}）}{1-q}$，
即2qⁿ=qⁿ⁺¹+qⁿ⁺²，
即q²+q-2=0，
因此q=-2．
故答案為：-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的求和公式，注意對(duì)公比為字母，則需要分類討論．