Question

已知球O的半徑為R，A、B、C為球面上的三點，若任意兩點的球面距離均為

πR

3

，則球O的體積與三棱錐O-ABC的體積之比為（　�。�

• A．

  2 2 π

  3

• B．

  2 π

  3

• C．4

  2

  π
• D．8

  2

  π

Answer 1

分析：先根據(jù)球O的半徑為R，A、B、C為球面上的三點，任意兩點的球面距離均為

πR

3

，可得四面體O-ABC為正四面體
過點O作OD⊥平面ABC，垂足為D，連接AD，分別計算球O的體積與三棱錐O-ABC的體積，再求比值．

解答：解：由題意
∵球O的半徑為R，A、B、C為球面上的三點，任意兩點的球面距離均為

πR

3

，

∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=

π

3

∴四面體O-ABC為正四面體
過點O作OD⊥平面ABC，垂足為D，連接AD，則AD=

3

3

R
∴OD=

R2- 1 3 R2

=

6

3

R
∴VO-ABC= 

1

3

×

3

4

R2×

6

3

R=

2

12

R3
又∵V球=

4

3

π  R3
∴球O的體積與三棱錐O-ABC的體積之比為

4

3

π R3：

2

12

R3=8

2

π
故選D．

點評：本題以球為載體，考查球面距離，考查三棱錐的體積、球的體積公式，解題的關鍵是根據(jù)球面距離得出四面體為正四面體．