Question

已知點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），動點(diǎn)P滿足F₁F₂為PF₁和PF₂的等差中項(xiàng)．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過F₁作直線L交C于A，B兩點(diǎn)，求AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由等差中項(xiàng)的概念得到|PF₁|+|PF₂|=4，由此可知點(diǎn)P在以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓上，則動點(diǎn)P的軌跡C的方程可求；
（2）分別設(shè)出M，A，B的坐標(biāo)，把A，B的坐標(biāo)代入橢圓C的方程，由“點(diǎn)差法”求AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答： 解：（1）∵F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
∴|F₁F₂|=2，
∵|F₁F₂|是|PF₁|與|PF₂|的等差中項(xiàng)，
∴2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，
即|PF₁|+|PF₂|=4，
∴點(diǎn)P在以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓上，
∵2a=4，
∴a=2，
又c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴橢圓的方程是

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設(shè)AB中點(diǎn)M（x，y）（-2＜x＜2），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵A，B在橢圓C上，
∴

x12

4

+

y12

3

=1  ①，

x22

4

+

y22

3

=1  ②，
①-②得：

(x1-x2)(x1+x2)

4

=-

(y1-y2)(y1+y2)

3

，
即

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

•

x1+x2

y1+y2

=-

3

4

•

2x

2y

=-

3x

4y

 （x₁≠x₂）．
∴

y-0

x-(-1)

=-

3x

4y

，整理得：3x²+4y²+3x=0 （-2＜x＜2）．
而F₁（-1，0）適合上式，
∴AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為3x²+4y²+3x=0 （-2＜x＜2）．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，用到了等差中項(xiàng)的概念，訓(xùn)練了“點(diǎn)差法”求弦中點(diǎn)的軌跡，與中點(diǎn)弦有關(guān)的問題常用此法解決，是中檔題．