【題目】已知函數(shù).

1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)證明:當時,函數(shù)有三個零點.

【答案】1)見解析;(2)見解析.

【解析】

1)求出函數(shù)的解析式,求導,分、解關(guān)于導函數(shù)的不等式即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)易知函數(shù)的零點就是函數(shù)的零點,結(jié)合(1)的結(jié)論以及零點存在性定理即可得證.

1,

.

①當時,,

時,,當時,.

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;

②當時,,,則函數(shù)上為增函數(shù);

③當時,,

,,當.

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為;

綜上所述,當時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為;

時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,無單調(diào)減區(qū)間;

時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為;

2,函數(shù)的零點就是函數(shù)的零點,

時,由(1)知函數(shù),上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

時,函數(shù)單調(diào)遞增,

因為,

,

,,函數(shù)上單調(diào)遞減,

,

所以,存在,使得

所以,函數(shù)上有個零點

,為減函數(shù),極小值點,且

所以,函數(shù)個零點

,函數(shù)為增函數(shù),

,,

存在,使得,所以函數(shù)1個零點.

綜上,當時,函數(shù)有三個零點,即函數(shù)有三個零點.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】九龍坡區(qū)圍繞大力發(fā)展高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)、推進高質(zhì)量城市管理、創(chuàng)造高品質(zhì)人民生活,建設(shè)宜居、宜業(yè)、宜游的“三高九龍坡、三宜山水城”的總愿景,全面開啟新時代的新夢想、新征程.熱心網(wǎng)友“我是坡民”通過問卷,對近五年游客滿意度排在前三名的區(qū)內(nèi)景點進行了統(tǒng)計,結(jié)果如表一.根據(jù)此表,他又對游覽過熱門景點重慶動物園的100名游客進行滿意度調(diào)查,給景點打分,滿分為100分,得分超過90分的為“特別滿意”,其余為“基本滿意”,將受調(diào)查游客年齡為12歲及以下的人群稱為兒童,得到列聯(lián)表,如表二:

表一:

年份景點排名

2014

2015

2016

2017

2018

1

重慶動物園

重慶動物園

龍門陣景區(qū)

彩云湖

彩云湖

2

華巖景區(qū)

華巖景區(qū)

重慶動物園龍

龍門陣景區(qū)

黃桷坪涂鴉街

3

巴國城

海蘭云天

黃桷坪涂鴉街

華巖景區(qū)

重慶動物園

表二:

特別滿意

基本滿意

合計

兒童

40

非兒童

30

合計

60

100

1)完成表二的列聯(lián)表,并判斷是否有99.9%的把握認為調(diào)查對象是否“特別滿意”與是否是兒童有關(guān);

2)為安排節(jié)假日出行,“我是坡民”從表一的5個年份中隨機選擇2個年份,再從這2個年份排名前三的景點中任意選擇1個景點,記選擇出的景點中“重慶動物園”出現(xiàn)的次數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望.

參考公式.

參考數(shù)據(jù):,.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,傾斜角為的直線的參數(shù)方程為為參數(shù)).以坐標原點為極點,以軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程是.

(Ⅰ)寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;

(Ⅱ)若直線經(jīng)過曲線的焦點且與曲線相交于兩點,設(shè)線段的中點為,求的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某北方村莊4個草莓基地,采用水培陽光栽培方式種植的草莓個大味美,一上市便成為消費者爭相購買的對象.光照是影響草莓生長的關(guān)鍵因素,過去50年的資料顯示,該村莊一年當中12個月份的月光照量X(小時)的頻率分布直方圖如下圖所示(注:月光照量指的是當月陽光照射總時長).

1)求月光照量(小時)的平均數(shù)和中位數(shù);

2)現(xiàn)準備按照月光照量來分層抽樣,抽取一年中的4個月份來比較草莓的生長狀況,問:應(yīng)在月光照量,,的區(qū)間內(nèi)各抽取多少個月份?

3)假設(shè)每年中最熱的5,67,8,910月的月光照量是大于等于240小時,且6,78月的月光照量是大于等于320小時,那么,從該村莊2018年的5,6,7,89,106個月份之中隨機抽取2個月份的月光照量進行調(diào)查,求抽取到的2個月份的月光照量(小時)都不低于320的概率.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.

1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;

2)設(shè)是曲線上任意一點,直線與兩坐標軸的交點分別為,求最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某高校為增加應(yīng)屆畢業(yè)生就業(yè)機會,每年根據(jù)應(yīng)屆畢業(yè)生的綜合素質(zhì)和學業(yè)成績對學生進行綜合評估,已知某年度參與評估的畢業(yè)生共有2000名,其評估成績近似的服從正態(tài)分布.現(xiàn)隨機抽取了100名畢業(yè)生的評估成績作為樣本,并把樣本數(shù)據(jù)進行了分組,繪制了頻率分布直方圖:

(1)求樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);

(2)若學校規(guī)定評估成績超過分的畢業(yè)生可參加三家公司的面試.

(。┯脴颖酒骄鶖(shù)作為的估計值,用樣本標準差作為的估計值,請利用估計值判斷這2000名畢業(yè)生中,能夠參加三家公司面試的人數(shù);

(ⅱ)若三家公司每家都提供甲、乙、丙三個崗位,崗位工資表如下:

公司

甲崗位

乙崗位

丙崗位

9600

6400

5200

9800

7200

5400

10000

6000

5000

李華同學取得了三個公司的面試機會,經(jīng)過評估,李華在三個公司甲、乙、丙三個崗位的面試成功的概率均為,李華準備依次從三家公司進行面試選崗,公司規(guī)定:面試成功必須當場選崗,且只有一次機會.李華在某公司選崗時,若以該崗位工資與未進行面試公司的工資期望作為抉擇依據(jù),問李華可以選擇公司的哪些崗位?

并說明理由.

附:,若隨機變量,

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)若,求處的切線方程;

2)對任意的,恒成立,求的取值范圍;

3)設(shè),在(2)的條件下,當取最小值且時,試比較上的大小,并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知圓,過且與圓相切的動圓圓心為.

1)求點的軌跡的方程;

2)已知過點的兩直線互相垂直,且直線交曲線兩點,直線交曲線,兩點(,為不同的四個點),求四邊形的面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】將三棱錐拼接得到如圖所示的多面體,其中,,分別為,的中點,.

1)當點在直線上時,證明:平面;

2)若均為面積為的等邊三角形,求該多面體體積的最大值.

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