Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC側(cè)面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4．

（1）若PB中點為E．求證：AE∥平面PCD；
（2）若∠PAB=60°，求直線BD與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，取PC的中點F，連結(jié)DF，EF；

∵EF∥AD，且AD=EF，所以ADFE為平行四邊形；

∴AE∥DF，且AE平面PCD，DF平面PCD；

∴AE∥平面PCD

（2）解：∵∠PAB=60°，PA=AB；

∴△PAB為等邊三角形，取AB中點O，連接PO；

則PO⊥AB；

又側(cè)面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB；

∴PO⊥平面ABCD；

根據(jù)已知條件可求得PO= ，S△BCD=4，PD=CD= ，PC=2 ， ；

設(shè)點B到平面PCD的距離為h；

∴ ， ；

∵VP﹣BCD=VB﹣PCD；

∴ ；

∴直線BD與平面PCD所成角θ的正弦值

【解析】（1）取PC中點F，并連接DF，F(xiàn)E，根據(jù)已知條件容易說明四邊形ADFE為平行四邊形，從而有AE∥DF，根據(jù)線面平行的判定定理即得到AE∥平面PCD；（2）設(shè)B到平面PCD的距離為h，從而直線BD與平面PCD所成角的正弦值便可表示為 ，BD根據(jù)已知條件容易求出，而求h可通過VP﹣BCD=VB﹣PCD求出：取AB中點O，連接PO，可以說明PO⊥平面ABCD，而根據(jù)已知條件能夠求出S△BCD ， S△PCD ， 從而求出h，從而求得答案．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．