Question

完成下列各題：
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=

3 -tanx

的定義域；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=

sinx+1

cosx+3

的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,函數(shù)的定義域及其求法

專題：數(shù)形結(jié)合,函數(shù)思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）3-tanx≥0，解不等式得：kπ-

π

2

＜x≤kπ+

π

3

，即可得到答案．
（2）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

3 -tanx

的定義域

3

-tanx≥0，解不等式得：kπ-

π

2

＜x≤kπ+

π

3

，k∈Z
函數(shù)f（x）=

3 -tanx

的定義域：（kπ-

π

2

，kπ+

π

3

]，k∈Z，
（2））

sinx+1

cosx+3

幾何意義為：點(diǎn)（cosx，sinx），點(diǎn)（-3，-1）兩點(diǎn)連線的斜率，點(diǎn)（cosx，sinx）為單位圓上的點(diǎn)．

設(shè)斜率為k，則切線方程為kx-y+3k-1=0，
根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得：

|3k-1|

k2+1

=1，
解得：k=0，k=

3

4

，
有圖形可判斷：
函數(shù)f（x）=

sinx+1

cosx+3

的值域?yàn)閇0，

3

4

]

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了不等式在求解定義域中的運(yùn)用，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想求解函數(shù)值域．