Question

11．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，S_n）均在函數(shù)y=3x²-2x的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，T_n是數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)n和，求使得T_n＜$\frac{m}{30}$對(duì)所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件得到S_n=3n²-2n，進(jìn)行求解即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)（n，S_n）均在函數(shù)y=3x²-2x的圖象上．
∴S_n=3n²-2n，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-3（n-1）²+2（n-1）=6n-5，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3-2=1滿足a_n，
即數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=6n-5；
（2）b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（6n-5）（6n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），
則T_n=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{13}$+…+$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$）=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{6n+1}$）$＜\frac{1}{3}$，
要使得T_n＜$\frac{m}{30}$對(duì)所有n∈N^*都成立，
則$\frac{m}{30}$$≥\frac{1}{3}$，
即m≥10，
即m的最小正整數(shù)m=10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和的應(yīng)用，利用裂項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵．