Question

1．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展開式的二項式系數(shù)之和比（a+b）²ⁿ的展開式的系數(shù)之和小240，則（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展開式中系數(shù)最大的項是6$\root{3}{x}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得出2²ⁿ-2ⁿ=240，解方程得n的值，從而求出（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{x}}$）⁴的展開式中系數(shù)最大的項．

解答 解：∵（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ展開式的二項式系數(shù)之和為2ⁿ，（a+b）²ⁿ的展開式的系數(shù)之和為2²ⁿ；
∴2²ⁿ-2ⁿ=240，
解得2ⁿ=16或2ⁿ=-15（不合題意，舍去）；
∴n=4，
∴（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{x}}$）⁴的展開式中系數(shù)最大的項是T₃=${C}_{4}^{2}$•${（\sqrt{x}）}^{2}$•${（\frac{1}{\root{3}{x}}）}^{2}$=$6\root{3}{x}$．
故答案為：6$\root{3}{x}$．

點評 本題考查了二項式定理的應(yīng)用問題，也考查了計算能力的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．