Question

13．在四面體ABCD中，點G₁，G₂，G₃，G₄分別為△ABC，△ACD，△ADB，△BCD的重心，點M在線段AG₄上，且AM：MG₄=2：1，求證：向量$\overrightarrow{{G}_{1}{G}_{2}}$，$\overrightarrow{{G}_{1}{G}_{3}}$，$\overrightarrow{{G}_{1}M}$共面．

Answer 1

分析 畫出圖形，結合圖形，證明G₁M∥平面BCD，G₁G₂∥平面BCD，G₁G₃∥平面BCD即可得出G₁M、G₁G₂、G₁G₃三線共面，
從而得出向量$\overrightarrow{{G}_{1}{G}_{2}}$，$\overrightarrow{{G}_{1}{G}_{3}}$，$\overrightarrow{{G}_{1}M}$共面．

解答 證明：如圖所示，
四面體ABCD中，點G₁，G₂，G₃，G₄分別為△ABC，△ACD，△ADB，△BCD的重心，
延長AG₁交BC于點E，
∴$\frac{{AG}_{1}}{{G}_{1}E}$=$\frac{2}{1}$；
又AM：MG₄=2：1，
∴$\frac{{AG}_{1}}{{G}_{1}E}$=$\frac{AM}{{MG}_{4}}$，
∴G₁M∥EG₄；
又G₁M?平面BCD，EG₄?平面BCD，
∴G₁M∥平面BCD；
同理G₁G₂∥平面BCD，G₁G₃∥平面BCD，
且G₁M∩G₁G₂=G₁，G₁M∩G₁G₃=G₁，
∴G₁M、G₁G₂、G₁G₃三線共面，
即向量$\overrightarrow{{G}_{1}{G}_{2}}$，$\overrightarrow{{G}_{1}{G}_{3}}$，$\overrightarrow{{G}_{1}M}$共面．

點評 本題考查了空間中的平行關系的應用問題，也考查了證明空間向量的共面問題，考查了空間想象能力與邏輯推理能力，是中檔題目．