Question

11．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為1，公差為d（d∈N^*），m為數(shù)列{a_n}中的項．
（1）若d=3，試判斷${（{x+\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^m}$的展開式中是否含有常數(shù)項，并說明理由；
（2）求證：存在無窮多個d，使得對每一個m，${（{x+\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^m}$的展開式中均不含常數(shù)項．

Answer 1

分析 （1）寫出{a_n}的通項公式a_n，假設(shè)${（{x+\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^m}$的展開式中存在常數(shù)項第r+1項，利用m是數(shù)列{a_n}中的項，求出n與r的關(guān)系，從而判斷假設(shè)是否成立，即展開式中是否含常數(shù)項；
（2）根據(jù)題意，只需證明a_n=m=1+（n-1）d中對每一個m，${（{x+\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^m}$的展開式中均不含常數(shù)項，即對于n∈N^*，滿足1+（n-1）d=$\frac{3}{2}r$中的r無自然數(shù)解即可．

解答 解：（1）因為{a_n}是首項為1，公差為d=3的等差數(shù)列，
所以a_n=1+3（n-1）=3n-2；
假設(shè)${（{x+\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^m}$的展開式中的第r+1項為常數(shù)項（r∈N），
${T_{r+1}}=C_m^r{x^{m-r}}{（\frac{1}{{\sqrt{x}}}）^r}=C_m^r{x^{m-\frac{3}{2}r}}$，
于是$m=\frac{3}{2}r$；
因為m為數(shù)列{a_n}中的項．
所以設(shè)m=3n-2（n∈N*），
則有$3n-2=\frac{3}{2}r$，
即$r=2n-\frac{4}{3}$，這與r∈N矛盾；
所以假設(shè)不成立，
即${（{x+\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^m}$的展開式中不含常數(shù)項；
（2）證明：由題設(shè)知a_n=1+（n-1）d，
設(shè)m=1+（n-1）d，
由（1）知，要使對每一個m，${（{x+\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^m}$的展開式中均不含常數(shù)項，
必須有對于n∈N^*，滿足1+（n-1）d=$\frac{3}{2}r$中的r無自然數(shù)解，
即$r=\frac{2d}{3}（n-1）+\frac{2}{3}∉N$；
當(dāng)d=3k（k∈N^*）時，$r=2k（n-1）+\frac{2}{3}∉N$．
故存在無窮多個d，滿足對每一個m，${（{x+\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^m}$的展開式中均不含常數(shù)項．

點評 本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用問題，也考查了二項式定理的應(yīng)用問題，是綜合性題目．