如圖,直三棱柱中,AB=BC,,Q是AC上的點,AB1//平面BC1Q.
(Ⅰ)確定點Q在AC上的位置;
(Ⅱ)若QC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為,求二面角Q-BC1—C的余弦值.
(Ⅰ)Q為AC的中點; (Ⅱ)二面角Q-BC1-C的余弦值為.
解析試題分析:(Ⅰ)借助直線AB1∥平面BC1Q,利用面面平行的性質(zhì)定理可知AB1∥PQ,然后確定點Q的位置;(Ⅱ)利用空間向量的方法求解,分別求出面BC1C的法向量為m=(1,0,0)和 平面C1BQ的法向量n=(1,-,2),然后利用向量的夾角公式計算二面角Q-BC1-C的余弦值.
試題解析:(Ⅰ)連接B1C交BC1于點P,連接PQ.
因為直線AB1∥平面BC1Q,AB1Ì平面AB1C,平面BC1Q∩平面AB1C=PQ,
所以AB1∥PQ.
因為P為B1C的中點,且AB1∥PQ,
所以,Q為AC的中點.
(Ⅱ)如圖建立空間直角坐標系.
設(shè)AB=BC=a,BB1=b,則
面BC1C的法向量為m=(1,0,0).
B(0,0,0),C1(0,a,b),Q(a, a,0),
=(0,a,b),=(-a, a,b).
因QC1與面BC1C所成角的正弦值為,
故==,解得b=a.
設(shè)平面C1BQ的法向量n=(x,y,z),則
即取n=(1,-,2).
所以有cosám,nñ==.
故二面角Q-BC1-C的余弦值為.
考點:1.平行關(guān)系的證明與判斷;2.二面角;3.空間向量法.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在等腰梯形中,是梯形的高,,,現(xiàn)將梯形沿折起,使,且,得一簡單組合體如圖所示,已知分別為的中點.
(1)求證:平面;
(2)求證:平面.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,邊長為2的正方形中,點是的中點,點是的中點,將△、△ 分別沿、折起,使、兩點重合于點,連接,.
(1)求證:; (2)求點到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在邊長為的正方形中,分別為的中點,分別為的中點,現(xiàn)沿折疊,使三點重合,重合后的點記為,構(gòu)成一個三棱錐.
(1)請判斷與平面的位置關(guān)系,并給出證明;
(2)證明平面;
(3)求四棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,四棱錐中,底面,四邊形中,,,,.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)設(shè).
(ⅰ) 若直線與平面所成的角為,求線段的長;
(ⅱ) 在線段上是否存在一個點,使得點到點的距離都相等?說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知三棱錐,平面平面,AB=AD=1,AB⊥AD,DB=DC,DB⊥DC
(1) 求證:AB⊥平面ADC;
(2) 求三棱錐的體積;
(3) 求二面角的正切值.
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