【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+alnx(a為實(shí)常數(shù))
(Ⅰ)若a=﹣2,求證:函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù);
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最小值及相應(yīng)的x值;
(Ⅲ)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】【解答】解:(Ⅰ)當(dāng)a=﹣2時(shí),f(x)=x2﹣2lnx,x∈(0,+∞),
則f′(x)=2x﹣ = (x>0)
由于f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
故函數(shù)在(1,+∞)上是增函數(shù);
(Ⅱ)f′(x)=2x+ = (x>0),
當(dāng)x∈[1,e]時(shí),2x2+a∈[a+2,a+2e2].
①若a≥﹣2,f′(x)在[1,e]上非負(fù)(僅當(dāng)a=﹣2,x=1時(shí),f′(x)=0),
故函數(shù)f(x)在[1,e]上是增函數(shù),此時(shí)[f(x)]min=f(1)=1.
②若﹣2e2<a<﹣2,當(dāng)x= 時(shí),f′(x)=0;
當(dāng)1≤x< 時(shí),f′(x)<0,此時(shí)f(x)是減函數(shù);
當(dāng) <x≤e時(shí),f′(x)>0,此時(shí)f(x)是增函數(shù).
故[f(x)]min=f( )= ln(﹣ )﹣ .
③若a≤﹣2e2,f'(x)在[1,e]上非正(僅當(dāng)a=﹣2e2,x=e時(shí),f'(x)=0),
故函數(shù)f(x)在[1,e]上是減函數(shù),此時(shí)[f(x)]min=f(e)=a+e2.
綜上可知,當(dāng)a≥﹣2時(shí),f(x)的最小值為1,相應(yīng)的x值為1;
當(dāng)﹣2e2<a<﹣2時(shí),f(x)的最小值為 ln(﹣ )﹣ ,相應(yīng)的x值為 ;
當(dāng)a≤﹣2e2時(shí),f(x)的最小值為a+e2,相應(yīng)的x值為e.
(Ⅲ)不等式f(x)≤(a+2)x,可化為a(x﹣lnx)≥x2﹣2x.
∵x∈[1,e],∴l(xiāng)nx≤1≤x且等號(hào)不能同時(shí)取,所以lnx<x,即x﹣lnx>0,
因而 (x∈[1,e])
令 (x∈[1,e]),則 ,
當(dāng)x∈[1,e]時(shí),x﹣1≥0,lnx≤1,x+2﹣2lnx>0,
從而g′(x)≥0(僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)),所以g(x)在[1,e]上為增函數(shù),
故g(x)的最小值為g(1)=﹣1,所以a的取值范圍是[﹣1,+∞).
【解析】(Ⅰ)利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)大于0,函數(shù)單調(diào)遞增。
(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,最值情況。注意分3種情況①若a≥﹣2②若﹣2e2<a<﹣2③若a≤﹣2e2。
(Ⅲ)不等式f(x)≤(a+2)x成立,可化為成立問題。再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性,即可求出。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x+ )+2cos2x,x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)在區(qū)間 上的值域.
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【題目】已知過拋物線x2=4y的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn).
(1)設(shè)拋物線在A、B處的切線的交點(diǎn)為M,若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2,求△ABM的外接圓方程.
(2)若直線l與橢圓 + =1的交點(diǎn)為C,D,問是否存在這樣的直線l使|AF||CF|=|BF||DF|,若存在,求出l的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2015年一交警統(tǒng)計(jì)了某路段過往車輛的車速大小與發(fā)生的交通事故次數(shù),得到如下表所示的數(shù)據(jù):
車速x(km/h) | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
事故次數(shù)y | 1 | 3 | 6 | 9 | 11 |
(Ⅰ)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(Ⅱ)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程=x+;
(Ⅲ)試根據(jù)(Ⅱ)求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)在2016年該路段路況及相關(guān)安全設(shè)施等不變的情況下,車速達(dá)到110km/h時(shí),可能發(fā)生的交通事故次數(shù).
(附:b=,=-,其中,為樣本平均值)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知{an}為等差數(shù)列,且a3=-6,a6=0.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若等比數(shù)列{bn}滿足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n項(xiàng)和公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國(guó)加入WTO時(shí),根據(jù)達(dá)成的協(xié)議,某產(chǎn)品的市場(chǎng)供應(yīng)量P與市場(chǎng)價(jià)格x的關(guān)系近似滿足P(x)=2(1-kt)(x-b)2(其中t為關(guān)銳的稅率,且t∈[0, ),x為市場(chǎng)價(jià)格,b、k為正常數(shù)).當(dāng)t=時(shí)的市場(chǎng)供應(yīng)量曲線如圖所示.
(1)根據(jù)圖象求b、k的值;
(2)記市場(chǎng)需求量為Q,它近似滿足Q(x)=,當(dāng)P=Q時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格,為使市場(chǎng)平衡價(jià)格不低于9元,求稅率的最小值.
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【題目】若數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列,數(shù)列滿足,且.
(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn,若不等式 對(duì)一切n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
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【題目】某班級(jí)舉行一次知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng),活動(dòng)分為初賽和決賽兩個(gè)階段、現(xiàn)將初賽答卷成績(jī)(得分均為整數(shù),滿分為100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),制成如下頻率分布表.
分?jǐn)?shù)(分?jǐn)?shù)段) | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
[60,70) | ① | 0.16 |
[70,80) | 22 | ② |
[80,90) | 14 | 0.28 |
[90,100) | ③ | ④ |
合計(jì) | 50 | 1 |
(1)填充頻率分布表中的空格(在解答中直接寫出對(duì)應(yīng)空格序號(hào)的答案);
(2)決賽規(guī)則如下:參加決賽的每位同學(xué)依次口答4道小題,答對(duì)2道題就終止答題,并獲得一等獎(jiǎng).如果前三道題都答錯(cuò),就不再答第四題.某同學(xué)進(jìn)入決賽,每道題答對(duì)的概率P的值恰好與頻率分布表中不少于80分的頻率的值相同.
①求該同學(xué)恰好答滿4道題而獲得一等獎(jiǎng)的概率;
②記該同學(xué)決賽中答題個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,O為AD的中點(diǎn),射線OP從OA出發(fā),繞著點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至OD,在旋轉(zhuǎn)的過程中,記為OP所經(jīng)過的在正方形ABCD內(nèi)的區(qū)域(陰影部分)的面積,那么對(duì)于函數(shù)有以下三個(gè)結(jié)論:
①;
②任意,都有;
③任意且,都有.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是__________. (把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上).
【答案】①②
【解析】試題分析:①:如圖,當(dāng)時(shí), 與相交于點(diǎn),∵,則,
∴,∴①正確;②:由于對(duì)稱性, 恰好是正方形的面積,
∴,∴②正確;③:顯然是增函數(shù),∴,∴③錯(cuò)誤.
考點(diǎn):函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用.
【題型】填空題
【結(jié)束】
17
【題目】化簡(jiǎn)
(1)
(2)
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