Question

已知橢圓C：＝1(a>b>0)，點(diǎn)A、B分別是橢圓C的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線AB與圓G： (c是橢圓的半焦距)相離，P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓G的兩切線，切點(diǎn)分別為M、N.

(1) 若橢圓C經(jīng)過兩點(diǎn)，求橢圓C的方程；

(2) 當(dāng)c為定值時(shí)，求證：直線MN經(jīng)過一定點(diǎn)E，并求的值(O是坐標(biāo)原點(diǎn))；

(3) 若存在點(diǎn)P使得△PMN為正三角形，試求橢圓離心率的取值范圍．

Answer 1

 (1) 解：令橢圓mx²＋ny²＝1，其中m＝，n＝，得所以m＝，n＝，即橢圓方程為＝1.

(2) 證明：直線AB：＝1，設(shè)點(diǎn)P(x₀，y₀)，則OP的中點(diǎn)為，所以點(diǎn)O、M、P、N所在的圓的方程為，化簡為x²－x₀x＋y²－y₀y＝0，與圓x²＋y²＝作差，即直線MN：x₀x＋y₀y＝.

 (3) 解：由直線AB與圓G：x²＋y²＝(c是橢圓的焦半距)相離，則，即4a²b²＞c²(a²＋b²)，4a²(a²－c²)＞c²(2a²－c²)，得e⁴－6e²＋4＞0.因?yàn)?＜e＜1，所以0＜e²＜3－�、�.連結(jié)ON、OM、OP，若存在點(diǎn)P使△PMN為正三角形，則在Rt△OPN中，OP＝2ON＝2r＝c，所以≤c，a²b²≤c²(a²＋b²)，a²(a²－c²)≤c²(2a²－c²)，得e⁴－3e²＋1≤0.因?yàn)?＜e＜1，所以≤e²＜1�、�.

由①②得.