Question

1．已知點(diǎn)A（2，3）、B（5，4）、C（7，10），若點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AC}$（λ∈R），當(dāng)λ為何值時(shí)：
（1）點(diǎn)P在直線y=2x上？
（2）點(diǎn)P在第三象限內(nèi)？

Answer 1

分析 （1）可求出$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$的坐標(biāo)，從而得出$\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}=（3+5λ，1+7λ）$，而點(diǎn)P在直線y=2x上，從而可設(shè)P（x，2x），這便可得到（x-2，2x-3）=（3+5λ，1+7λ），從而得到$\left\{\begin{array}{l}{x-2=3+5λ}\\{2x-3=1+7λ}\end{array}\right.$，從而可解出λ的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y），從而有（x-2，y-3）=（3+5λ，1+7λ），這樣即可得到$\left\{\begin{array}{l}{x=5+5λ}\\{y=4+7λ}\end{array}\right.$，而點(diǎn)P在第三象限內(nèi)，從而有$\left\{\begin{array}{l}{5+5λ＜0}\\{4+7λ＜0}\end{array}\right.$，這樣即可解出λ的取值范圍，即得出λ為何值時(shí)點(diǎn)P在第三象限內(nèi)．

解答 解：$\overrightarrow{AB}=（3，1），\overrightarrow{AC}=（5，7）$；
∴$\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}=（3+5λ，1+7λ）$；
（1）若P在直線y=2x上，設(shè)P（x，2x），則$\overrightarrow{AP}=（x-2，2x-3）$；
∴（x-2，2x-3）=（3+5λ，1+7λ）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2=3+5λ}\\{2x-3=1+7λ}\end{array}\right.$；
解得λ=-2；
即λ=-2時(shí)，點(diǎn)P在直線y=2x上；
（2）設(shè)P（x，y），則$\overrightarrow{AP}=（x-2，y-3）$；
∴（x-2，y-3）=（3+5λ，1+7λ）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2=3+5λ}\\{y-3=1+7λ}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=5+5λ}\\{y=4+7λ}\end{array}\right.$；
∵P在第三象限內(nèi)；
∴x＜0，y＜0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{5+5λ＜0}\\{4+7λ＜0}\end{array}\right.$；
解得λ＜-1；
即λ＜-1時(shí)，點(diǎn)P在第三象限內(nèi)．

點(diǎn)評 考查根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，以及向量坐標(biāo)的數(shù)乘和加法運(yùn)算，向量的坐標(biāo)相等時(shí)，在x軸，y軸上的坐標(biāo)分別對應(yīng)相等．