Question

12．有下列結(jié)論，正確的序號為③④．
①存在α∈（0，$\frac{π}{2}$），使sinα+cosα=$\frac{1}{3}$；
②存在區(qū)間（a，b），使y=cosx為減函數(shù)且sinx＜0；
③函數(shù)y=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象關(guān)于點（-$\frac{π}{6}$，0）對稱；
④函數(shù)y=cos2x+sin（$\frac{π}{2}$-x）是偶函數(shù)，且既有最大值，又有最小值．

Answer 1

分析 分別根據(jù)三角函數(shù)公式和性質(zhì)進行判斷即可得到結(jié)論．

解答 解：①∵sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$），
∴當α∈（0，$\frac{π}{2}$），$α+\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$）∈（1，2]，
∴不存在α∈（0，$\frac{π}{2}$），使sinα+cosα=$\frac{1}{3}$；故①錯誤；
②若y=cosx為減函數(shù)，則2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z，
當2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z時，sinx≥0，
即不存在區(qū)間（a，b），使y=cosx為減函數(shù)且sinx＜0；故②錯誤；
③當x=-$\frac{π}{6}$時，y=4sin（-$\frac{π}{6}$×2+$\frac{π}{3}$）=4sin0=0，
則函數(shù)y=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象關(guān)于點（-$\frac{π}{6}$，0）對稱；故③正確，
④函數(shù)y=cos2x+sin（$\frac{π}{2}$-x）=cos2x+cosx，則函數(shù)為偶函數(shù)，
又y=cos2x+cosx=2cos²x+cosx-1=2（cosx+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{9}{8}$，
∵-1≤cosx≤1，
∴當cosx=1時，函數(shù)取得最大值，當cosx=-$\frac{1}{4}$時，函數(shù)取得最小值，故函數(shù)既有最大值，又有最小值．故④正確，
故正確的是③④，
故答案為：③④

點評 本題主要考查與三角函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，要求熟練掌握三角函數(shù)的公式和性質(zhì)．考查學生的推理判斷能力．