Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，BF．若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=$\frac{4}{5}$，則C的離心率為$\frac{5}{7}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，利用余弦定理求出|AF|，可得則四邊形AFBF′為矩形，結(jié)合橢圓的對稱性求得a，c的值，則橢圓的離心率可求．

解答 解：由題意畫出圖形，

在△AFB中，由|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=$\frac{4}{5}$，
結(jié)合余弦定理可得|AF|=6，∴有|AF|²+|BF|²=|AB|²，
則三角形AFB為Rt△，連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′為矩形，
∴2a=6+8=14，2c=10，則a=7，c=5．
∴C的離心率為$\frac{5}{7}$．
故答案為：$\frac{5}{7}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，關(guān)鍵是注意橢圓對稱性的應(yīng)用，是中檔題．