Question

（12分）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)F是橢圓C的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)P（-2，0）的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求△ABF面積的最大值．

Answer 1

（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)條件構(gòu)造參數(shù)a，b，c的關(guān)系式，，，

求解即可得到橢圓的方程；

（2）設(shè)出直線的方程代入橢圓方程整理，

用斜率k表示出弦長，原點(diǎn)到直線的距離，

所以所以，整理出面積的最小值．

試題解析：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以．

又橢圓C過點(diǎn)，所以．

同時(shí)結(jié)合，解得

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）由題知：F（-1，0），顯然直線AB的斜率存在，設(shè)為k，

則直線AB的方程為，設(shè)點(diǎn)，

聯(lián)立，消去y得，

故△=

=，所以，且，

所以

點(diǎn)F到直線AB的距離為，所以

令，則．所以

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即t=2，時(shí)，取等號，所以△ABF面積的最大值為．

考點(diǎn)：橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系．

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 考點(diǎn)2：橢圓的幾何性質(zhì) 試題屬性

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