Question

15．經(jīng)過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F作該雙曲線一條漸近線的垂線與兩條漸近線相交于M，N兩點(diǎn)，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OMN的面積是$\frac{3}{8}$a²，則該雙曲線的離心率（　�。�

• A． $\sqrt{10}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{10}}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，設(shè)兩條漸近線的夾角為θ，由兩直線的夾角公式，可得tanθ=tan∠MON，求出F到漸近線y=$\frac{a}$x的距離為b，即有|ON|=a，△OMN的面積可以表示為$\frac{1}{2}$•a•atanθ，結(jié)合條件可得a，b的關(guān)系，再由離心率公式即可計(jì)算得到．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
設(shè)兩條漸近線的夾角為θ，
則tanθ=tan∠MON=$\frac{\frac{a}-（-\frac{a}）}{1+\frac{a}•（-\frac{a}）}$=$\frac{2ab}{{a}^{2}-^{2}}$，
設(shè)FN⊥ON，則F到漸近線y=$\frac{a}$x的距離為d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，
即有|ON|=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=a，
則△OMN的面積可以表示為$\frac{1}{2}$•a•atanθ=$\frac{{a}^{3}b}{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{3{a}^{2}}{8}$，
解得a=3b，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{9}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，同時(shí)考查兩直線的夾角公式和三角形的面積公式，結(jié)合著較大的運(yùn)算量，屬于中檔題．