Question

4．設函數(shù)f（x）=sin（2x+α）+$\sqrt{3}$cos（2x+α）（0＜α＜$\frac{π}{2}$），且圖象關于直線x=$\frac{π}{24}$對稱，則（　�。�

• A． 函數(shù)f（x）的周期為π，且在區(qū)間[$\frac{π}{3}$，π]內(nèi)單調(diào)遞增
• B． 函數(shù)f（x）的周期為π，且在區(qū)間[$\frac{2π}{3}$，π]內(nèi)單調(diào)遞增
• C． 函數(shù)f（x）的周期為2π，且在區(qū)間[$\frac{2π}{3}$，π]內(nèi)單調(diào)遞增
• D． 函數(shù)f（x）的周期為$\frac{π}{2}$，且在區(qū)間[$\frac{π}{2}$，π]內(nèi)單調(diào)遞增

Answer 1

分析 根據(jù)題意，化簡f（x），求出函數(shù)f（x）的解析式，再判斷符合題意的選項即可．

解答 解：∵f（x）=sin（2x+α）+$\sqrt{3}$cos（2x+α）
=2[$\frac{1}{2}$sin（2x+α）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（2x+α）]
=2sin（2x+α+$\frac{π}{3}$），
且0＜α＜$\frac{π}{2}$，其函數(shù)圖象關于直線x=$\frac{π}{24}$對稱，
∴2×$\frac{π}{24}$+α+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得α=$\frac{π}{12}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{5π}{12}$），
其最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π，
當x∈[$\frac{2π}{3}$，π]時，2x+$\frac{5π}{12}$∈[$\frac{7π}{4}$，$\frac{29π}{12}$]，
∴f（x）在區(qū)間[$\frac{2π}{3}$，π]上是單調(diào)增函數(shù)，
B選項滿足題意．
故選：B．

點評 本題考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的應用問題，也考查了三角函數(shù)的恒等變換問題，是基礎題目．