Question

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程：
（1）已知二次函數(shù)y=x2-2xsecα+

2+sin2α

2cos2α

，（α為參數(shù)，cosα≠0）求證此拋物線頂點的軌跡是雙曲線．
（2）長為2a的線段兩端點分別在直角坐標軸上移動，從原點向該線段作垂線，垂足為P，求P的軌跡的極坐標方程．

Answer 1

分析：（1）把二次函數(shù)配方可得y=（x-secα）²+tanα，解得

x=secα y=tanα

，故頂點的坐標為（secα，tanα），利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去α得到頂點軌跡方程，從而得出結(jié)論．
（2）再設(shè)線段AB中點P的坐標為（ρ，θ），根據(jù)等面積法

1

2

OA•OB=

1

2

AB•OP，化簡求得P的軌跡的極坐標方程．

解答：解：（1）把二次函數(shù)y=x2-2xsecα+

2+sin2α

2cos2α

 配方得：y=（x-secα）²+tanα；…（2分）
解得

x=secα y=tanα

…（4分）所以頂點的坐標為（secα，tanα），
利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去α得 x²-y²=1，故頂點軌跡為雙曲線．…（5分）
（2）再設(shè)線段AB中點P的坐標為（ρ，θ），則直角三角形OAB的面積為
，

1

2

OA•OB=

1

2

AB•OP，故有

1

2

•

ρ

cosθ

•

ρ

sinθ

=

1

2

•2a•ρ，
化簡可得 ρ=asin2θ，P的軌跡的極坐標方程為 ρ=asin2θ．…（10分）

點評：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，簡單曲線的極坐標方程，屬于基礎(chǔ)題．