Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程：
（1）已知二次函數(shù)y=x2-2xsecα+

2+sin2α

2cos2α

，（α為參數(shù)，cosα≠0）求證此拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)．
（2）長(zhǎng)為2a的線(xiàn)段兩端點(diǎn)分別在直角坐標(biāo)軸上移動(dòng)，從原點(diǎn)向該線(xiàn)段作垂線(xiàn)，垂足為P，求P的軌跡的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析：（1）把二次函數(shù)配方可得y=（x-secα）²+tanα，解得

x=secα y=tanα

，故頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（secα，tanα），利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去α得到頂點(diǎn)軌跡方程，從而得出結(jié)論．
（2）再設(shè)線(xiàn)段AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ρ，θ），根據(jù)等面積法

1

2

OA•OB=

1

2

AB•OP，化簡(jiǎn)求得P的軌跡的極坐標(biāo)方程．

解答：解：（1）把二次函數(shù)y=x2-2xsecα+

2+sin2α

2cos2α

 配方得：y=（x-secα）²+tanα；…（2分）
解得

x=secα y=tanα

…（4分）所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（secα，tanα），
利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去α得 x²-y²=1，故頂點(diǎn)軌跡為雙曲線(xiàn)．…（5分）
（2）再設(shè)線(xiàn)段AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ρ，θ），則直角三角形OAB的面積為
，

1

2

OA•OB=

1

2

AB•OP，故有

1

2

•

ρ

cosθ

•

ρ

sinθ

=

1

2

•2a•ρ，
化簡(jiǎn)可得 ρ=asin2θ，P的軌跡的極坐標(biāo)方程為 ρ=asin2θ．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程，屬于基礎(chǔ)題．