Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|．
（1）若不等式f（x）≤2的解集為{x|1≤x≤5}，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）在（1）的條件下，若不等式f（2x）+f（x+2）≥m對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用不等式f（x）≤2的解集為{x|1≤x≤5}，去掉絕對值符號，然后求實(shí)數(shù)a的值；
（2）在（1）的條件下，若不等式f（2x）+f（x+2）≥m對一切實(shí)數(shù)x恒成立，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
解：（1）由f（x）≤2得|x-a|≤2，解得a-2≤x≤a+2，------------------（2分）
又不等式f（x）≤2的解集為{x|1≤x≤5}，所以

a-2=1 a+2=5

，解得a=3；
-------------------（4分）
（2）當(dāng)a=3時，f（x）=|x-3|，--------------------（5分）
設(shè)g（x）=f（2x）+f（x+2），
則g(x)=f(2x)+f(x+2)=|2x-3|+|x-1|=

3x-4，       x≥ 3 2 2-x，        1＜x＜ 3 2 -3x+4，      x≤1

，
所以g（x）的最小值為g(

3

2

)=

1

2

，-------------------（8分）
故當(dāng)不等式f（2x）+f（x+2）≥m對一切實(shí)數(shù)x恒成立時實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤

1

2

．
---------------（10分）

點(diǎn)評：本題考查絕對值不等式的解法，分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．