Question

20．已知{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁a₂=2，a₂a₃=8．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足$\frac{_{1}}{1}$+$\frac{_{2}}{4}$+…+$\frac{_{n}}{3n-2}$=a_n+1-1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，由a₁a₂=2，a₂a₃=8．可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}^{2}q=2}\\{{a}_{1}^{2}{q}^{3}=8}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（II）由數(shù)列{b_n}滿足$\frac{_{1}}{1}$+$\frac{_{2}}{4}$+…+$\frac{_{n}}{3n-2}$=a_n+1-1，可得當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{_{1}}{1}$+$\frac{_{2}}{4}$+…+$\frac{_{n-1}}{3n-5}$=a_n-1，兩式相減可得：$\frac{_{n}}{3n-2}$=a_n+1-a_n=2^n-1，當(dāng)n=1時(shí)，b₁=a₂-1=1．
可得b_n=（3n-2）•2^n-1．再利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，∵a₁a₂=2，a₂a₃=8．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}^{2}q=2}\\{{a}_{1}^{2}{q}^{3}=8}\end{array}\right.$，解得q=2，a₁=1．
∴a_n=2^n-1．
（II）∵數(shù)列{b_n}滿足$\frac{_{1}}{1}$+$\frac{_{2}}{4}$+…+$\frac{_{n}}{3n-2}$=a_n+1-1，
∴當(dāng)n=1時(shí)，b₁=a₂-1=2-1=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{_{1}}{1}$+$\frac{_{2}}{4}$+…+$\frac{_{n-1}}{3n-5}$=a_n-1，
兩式相減可得：$\frac{_{n}}{3n-2}$=a_n+1-a_n=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
∴b_n=（3n-2）•2^n-1．
當(dāng)n=1時(shí)上式也成立，
∴b_n=（3n-2）•2^n-1．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=1+4×2+7×2²+…+（3n-2）•2^n-1．
2S_n=2+4×2²+7×2³+…+（3n-5）×2^n-1+（3n-2）×2ⁿ，
∴-S_n=1+3×2+3×2²+…+3×2^n-1-（3n-2）×2ⁿ=$\frac{3×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（3n-2）×2ⁿ=（5-3n）×2ⁿ-5，
∴S_n=（3n-5）×2ⁿ+5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．