【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)證明當時,關于的不等式恒成立;
(Ⅲ)若正實數(shù)滿足,證明.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析(Ⅲ)見解析
【解析】試題分析:(1)求導函數(shù),從而可確定函數(shù)的單調性;(2)構造函數(shù),利用導數(shù)研究其最值,將恒成立問題進行轉化;(3)將代數(shù)式放縮,構造關于的一元二次不等式,解不等式即可.
試題解析:(Ⅰ) ,
由,得,
又,所以.
所以的單調減區(qū)間為,函數(shù)的增區(qū)間是.
(Ⅱ)令 ,
所以 .
因為,
所以.
令,得.
所以當,;
當時,.
因此函數(shù)在是增函數(shù),在是減函數(shù).
故函數(shù)的最大值為
.
令,因為,
又因為在是減函數(shù).
所以當時,,
即對于任意正數(shù)總有.
所以關于的不等式恒成立.
(Ⅲ)由,
即 ,
從而 .
令,則由得,.
可知,在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增.
所以,
所以,
又,
因此成立.
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【題目】設,又是一個常數(shù),已知或時, 只有一個實根,當時, 有三個相異實根,給出下列命題:
①和有一個相同的實根;
②和有一個相同的實根;
③的任一實根大于的任一實根;
④的任一實根小于的任一實根.
其中正確命題的個數(shù)為( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx的導函數(shù)圖象關于直線x=2對稱
(1)求b值;
(2)若f(x)在x=t處取得極小值,記此極小值為g(t),求g(t)的定義域.
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【題目】設函數(shù)f(x)=lnx﹣ax+ ﹣1. (Ⅰ)當a=1時,求曲線f(x)在x=1處的切線方程;
(Ⅱ)當a= 時,求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,設函數(shù)g(x)=x2﹣2bx﹣ ,若對于x1∈[1,2],x2∈[0,1],使f(x1)≥g(x2)成立,求實數(shù)b的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)(其中, 為自然對數(shù)的底數(shù), …).
(1)若函數(shù)僅有一個極值點,求的取值范圍;
(2)證明:當時,函數(shù)有兩個零點, ,且.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax2+(2﹣a)x. (Ⅰ)討論f(x)的單調性;
(Ⅱ)設a>0,證明:當0<x< 時,f( +x)>f( ﹣x);
(Ⅲ)若函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交于A,B兩點,線段AB中點的橫坐標為x0 , 證明:f′(x0)<0.
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【題目】過點(1,1)且與曲線y=x3相切的切線方程為( )
A.y=3x﹣2
B.y= x+
C.y=3x﹣2或y= x+
D.y=3x﹣2或y= x﹣
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