【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax2+(2﹣a)x. (Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)設(shè)a>0,證明:當(dāng)0<x< 時,f( +x)>f( ﹣x);
(Ⅲ)若函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交于A,B兩點,線段AB中點的橫坐標為x0 , 證明:f′(x0)<0.
【答案】解:(I)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞), f′(x)= =﹣ ,
① 若a>0,則由f′(x)=0,得x= ,且當(dāng)x∈(0, )時,f′(x)>0,
當(dāng)x∈( ,+∞)時,f′(x)<0,
所以f(x)在(0, )單調(diào)遞增,在( ,+∞)上單調(diào)遞減;
②當(dāng)a≤0時,f′(x)>0恒 成立,因此f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增;
(II)設(shè)函數(shù)g(x)=f( +x)﹣f( ﹣x),則g(x)=ln(1+ax)﹣ln(1﹣ax)﹣2ax,
g′(x)= = ,
當(dāng)x∈(0, )時,g′(x)>0,而g(0)=0,
所以g(x)>0,
故當(dāng)0<x< 時,f( +x)>f( ﹣x);
(III)由(I)可得,當(dāng)a≤0時,函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸至多有一個交點,
故a>0,從而f(x)的最大值為f( ),
不妨設(shè)A(x1 , 0),B(x2 , 0),0<x1<x2 ,
則0<x1< <x2 ,
由(II)得,f( ﹣x1)=f( )>f(x1)=f(x2)=0,
又f(x)在( ,+∞)單調(diào)遞減,
∴ ﹣x1<x2 , 于是x0= ,
由(I)知,f′( x0)<0.
【解析】(I)求導(dǎo),并判斷導(dǎo)數(shù)的符號,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(II)構(gòu)造函數(shù)g(x)=f( +x)﹣f( ﹣x),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g(x)當(dāng)0<x< 時的最小值大于零即可,(III)設(shè)出函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交于A,B兩點的橫坐標,根據(jù)(I).(II)結(jié)論,即可證明結(jié)論.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an+1﹣2an}是公比為2的等比數(shù)列,其中a1=1,a2=4.
(1)證明:數(shù)列{ }是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn;
(3)記Cn= (n≥2),證明: ( )n< +…+ ≤1﹣( )n﹣1 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)證明當(dāng)時,關(guān)于的不等式恒成立;
(Ⅲ)若正實數(shù)滿足,證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為等差數(shù)列,前n項和為, 是首項為2的等比數(shù)列,且公比大于0, ,, .
(Ⅰ)求和的通項公式;
(Ⅱ)求數(shù)列的前n項和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)都加2后所得數(shù)據(jù),則A,B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是( )
A.眾數(shù)
B.平均數(shù)
C.中位數(shù)
D.標準差
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面幾種推理中是演繹推理的序號為( )
A.由金、銀、銅、鐵可導(dǎo)電,猜想:金屬都可導(dǎo)電
B.猜想數(shù)列 {an}的通項公式為 (n∈N+)
C.半徑為r圓的面積S=πr2 , 則單位圓的面積S=π
D.由平面直角坐標系中圓的方程為(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2 , 推測空間直角坐標系中球的方程為(x﹣a)2+(y﹣b)2+(z﹣c)2=r2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以為極點, 軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線,與, 各有一個交點,當(dāng)時,這兩個交點間的距離為2,當(dāng),這兩個交點重合.
(1)分別說明, 是什么曲線,并求出與的值;
(2)設(shè)當(dāng)時, 與, 的交點分別為,當(dāng), 與, 的交點分別為,求四邊形的面積.
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