12.已知定義在R上的函數(shù)f(x),若對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1),則稱函數(shù)f(x)為“D函數(shù)”.給出以下四個(gè)函數(shù):①f(x)=ex+x;②f(x)=-x3-2x;③f(x)=e-x;④f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|,x≠0}\\{0,x=0}\end{array}\right.$,其中“D函數(shù)”的序號(hào)為(  )
A.①②B.①③C.②③D.②③④

分析 轉(zhuǎn)化已知條件,推出函數(shù)的單調(diào)性,判斷四個(gè)函數(shù):①f(x)=ex+x;②f(x)=-x3-2x;③f(x)=e-x;④f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|,x≠0}\\{0,x=0}\end{array}\right.$,其中“D函數(shù)”的序號(hào)即可.

解答 解:定義在R上的函數(shù)f(x),若對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,
都有x1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1),則稱函數(shù)f(x)為“D函數(shù)”.
即:x1(f(x1)-f(x2))+x2(f(x2)-f(x1))<0,
可得(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0,
即:$\frac{f({x}_{1})-f({x}_{2})}{{x}_{1}-{x}_{2}}<0$,
說明函數(shù)是減函數(shù).
①f(x)=ex+x是增函數(shù);
②f(x)=-x3-2x是減函數(shù);
③f(x)=e-x;是減函數(shù);
④f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|,x≠0}\\{0,x=0}\end{array}\right.$,是偶函數(shù),不是減函數(shù);
所以四個(gè)函數(shù):①f(x)=ex+x;②f(x)=-x3-2x;③f(x)=e-x;④f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|,x≠0}\\{0,x=0}\end{array}\right.$,其中“D函數(shù)”的序號(hào)為:②③.
故選:C.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性的判斷,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

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