Question

如圖，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AB=BC=4，四邊形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD=

1

2

AE=2，點O、M分別為CE、AB的中點．
（1）求證：OD∥平面ABC；
（2）求直線CD和平面ODM所成角的正弦值；
（3）能否在EM上找到一點N，使得ON⊥平面ABDE？若能，請指出點N的位置，并加以證明；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，BD為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明OD∥平面ABC．
（2）求出平面ODM法向量，由此利用向量法能求出直線CD和平面ODM所成角的正弦值．
（3）設(shè)EM上一點N滿足

BN

=λ

BM

+(1-λ)

BE

，平面ABDE法向量

n3

=（1，0，0），不存在λ使

n3

∥

ON

，由此得到不存在滿足題意的點N．

解答： （1）證明：以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，BD為z軸，
建立空間直角坐標系
則C（4，0，0），A（0，4，0），D（0，0，2），
E（0，4，4），O（2，2，2），M（0，2，0），
平面ABC的法向量

n1

=（0，0，1），∵

DO

=（2，2，0），

DO

•

n1

=0，
∴OD∥平面ABC．
（2）解：設(shè)平面ODM法向量為

n2

=（x，y，z），直線CD與平面ODM所成角為θ，

DO

=（2，2，0），

DM

=（0，2，-2），
∴

n2 • DO =2x+2y=0 n2 • CD =2y-2z=0

，取x=-1，得

n2

=（-1，1，1），
∵

CD

=(-4，0，2)，
∴sinθ=cos＜

CD

，

n

＞=

15

5

．
（3）解：設(shè)EM上一點N滿足：

BN

=λ

BM

+(1-λ)

BE

=（0，4-2λ，4-4λ），
平面ABDE法向量

n3

=（1，0，0），

ON

=

BN

-

BO

=（-2，2-2λ，2-4λ），
不存在λ使

n3

∥

ON

，
∴不存在滿足題意的點N．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．