Question

已知函數(shù)f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x+b-2（a≠1）的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線的斜率是-3，則不等式組

x-ay≥0 x-by≥0

所確定的平面區(qū)域在圓x²+y²=4內(nèi)的面積為（　�。�

• A、π
• B、

  π

  2

• C、

  π

  3

• D、2π

Answer 1

考點(diǎn)：二元一次不等式（組）與平面區(qū)域

專題：直線與圓

分析：利用函數(shù)f（x）的圖象過原點(diǎn)，得到b=0，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到f'（0）=-3，然后求解a即可，結(jié)合二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的關(guān)系畫出其表示的平面區(qū)域，再利用圓的方程畫出圖形，最后利用扇形面積公式計(jì)算即可．

解答： 解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象過原點(diǎn)，所以f（0）=0，即b=2．
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2），
因?yàn)樵�點(diǎn)處的切線斜率是-3，
即f'（0）=-3，
所以f'（0）=-a（a+2）=-3，即a²+2a-3=0，解得a=-3或a=1（舍去）
所以：a=-3，b=2，
所以不等式組

x-ay≥0 x-by≥0

為

x+3y≥0 x-2y≥0

則不等式組

x+3y≥0 x-2y≥0

所確定的平面區(qū)域在圓x²+y²=4內(nèi)的面積，如圖陰影部分表示，
所以圓內(nèi)的陰影部分扇形即為所求．
∵k_OB=-

1

3

，k_OA=

1

2

，
∴tan∠BOA=

1 2 -(- 1 3 )

1+ 1 2 ×(- 1 3 )

=1，
∴∠BOA=

π

4

，
∴扇形的圓心角為

π

4

，扇形的面積是圓的面積的八分之一，
∴圓x²+y²=4在區(qū)域D內(nèi)的面積為

1

8

×4×π=

π

2

，
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用切線斜率和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．借助于平面區(qū)域特性，用幾何方法處理代數(shù)問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想．