Question

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），且當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f(x)=(

1

3

)x-6
，若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（　�。�

• A、（1，2）
• B、（2，+∞）
• C、(1，

  3	4

  )
• D、(

  3	4

  ，2)

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象可畫出：當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f(x)=(

1

3

)x-6的圖象．根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)畫出[0，2]的圖象，再根據(jù)周期性：對(duì)任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），畫出[2，6]的圖象．畫出函數(shù)y=log_a（x+2）（a＞1）的圖象．利用在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即可得出．

解答： 解：如圖所示，
當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f(x)=(

1

3

)x-6，可得圖象．
根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)畫出[0，2]的圖象，再根據(jù)周期性：對(duì)任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），
畫出[2，6]的圖象．
畫出函數(shù)y=log_a（x+2）（a＞1）的圖象．
∵在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴l(xiāng)og_a8＞3，log_a4＜3，
∴4＜a³＜8，
解得

3	4

＜a＜2．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性、周期性，考查了方程的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．