Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₂的直線交雙曲線的右支于P，Q兩點(diǎn)，若|PF₁|=|F₁F₂|，且3|PF₂|=2|QF₂|，則該雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,解三角形,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出雙曲線的焦點(diǎn)，運(yùn)用雙曲線的定義求得|PF₂|=|PF₁|-2a=2c-2a，結(jié)合條件可得|QF₁|=|QF₂|+2a=3c-a，在△PF₁F₂和△QF₁F₂中，分別運(yùn)用余弦定理以及∠F₁F₂Q+∠F₁F₂P=π，得cos∠F₁F₂Q+cos∠F₁F₂P=0，化簡(jiǎn)整理，由離心率公式計(jì)算即可得到．

解答： 解：設(shè)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
則|PF₁|=|F₁F₂|=2c，
由雙曲線的定義可得|PF₂|=|PF₁|-2a=2c-2a，
由3|PF₂|=2|QF₂|，
可得|QF₂|=3c-3a，
由雙曲線的定義可得|QF₁|=|QF₂|+2a=3c-a，
在△PF₁F₂和△QF₁F₂中，
cos∠F₁F₂P=

|F1F2|2+|PF2|2-|PF1|2

2|F1F2|•|PF2|

=

4c2+4(c-a)2-4c2

2•2c•2(c-a)

=

c-a

2c

，
cos∠F₁F₂Q=

|F1F2|2+|QF2|2-|QF1|2

2|F1F2|•|QF2|

=

4c2+9(c-a)2-(3c-a)2

2•2c•3(c-a)

=

c-2a

3c

，
由∠F₁F₂Q+∠F₁F₂P=π，可得cos∠F₁F₂Q+cos∠F₁F₂P=0，
即有

c-a

2c

+

c-2a

3c

=0，即有5c=7a，
即有e=

c

a

=

7

5

．
故答案為：

7

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，運(yùn)用雙曲線的定義和余弦定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題和易錯(cuò)題．