Question

9．已知圓C：x²+y²+4x-6y-3=0
（1）求過點(diǎn)M（-6，-5）的圓C的切線方程；
（2）若圓C上有兩點(diǎn)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）關(guān)于直線x+my+5=0對稱，且x₁+x₂+2x₁x₂=-14，求m的值和直線PQ的方程．

Answer 1

分析 （1）將圓的一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心坐標(biāo)和半徑，分切線的斜率存在和不存在求解，當(dāng)斜率不存在時直接寫出切線方程，斜率存在時，設(shè)出切線方程的點(diǎn)斜式并化為一般式，由圓心到切線的距離等于半徑求斜率，可得答案；
（2）由圓的性質(zhì)知直線x+my+4=0過圓心，將圓心坐標(biāo)代入求出m的值，由直線垂直的條件設(shè)PQ方程為y=-x+b，代入圓方程化簡后，利用△＞0列出不等式求出k的范圍，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂、x₁x₂，代入x₁+x₂+2x₁x₂=-14化簡求出k的值，然后求直線PQ的方程．

解答 解：（1）由圓C：x²+y²+4x-6y-3=0，得（x+2）²+（y-3）²=16，
∴圓C的圓心坐標(biāo)C（-2，3），半徑為4，
當(dāng)過點(diǎn)M的圓C的切線的斜率不存在時，切線方程為x=-6，符合題意；
當(dāng)過點(diǎn)M的圓C的切線的斜率存在時，
設(shè)切線方程為y+5=k（x+6），即kx-y+6k-5=0．
由題意得：d=$\frac{|-2k-3+6k-5|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4，解得k=$\frac{3}{4}$．
∴過點(diǎn)M的圓C的切線方程為y+5=$\frac{3}{4}$（x+6），即3x-4y-2=0，
綜上，過點(diǎn)M的圓C的切線方程為x=-6或3x-4y-2=0；
（2）∵點(diǎn)P、Q在圓上且關(guān)于直線x+my+5=0對稱，
∴圓心（-2，3）在直線上，代入得m=-1，
∵直線PQ與直線y=x+5垂直，∴設(shè)PQ方程為y=-x+b，
將直線y=-x+b代入圓方程，得2x²+2（5-b）x+b²-6b-3=0，
△=4（5-b）²-4×2×（b²-6b-3）＞0，得1-4$\sqrt{2}$＜b＜1+4$\sqrt{2}$，
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=b-5，x₁•x₂=$\frac{^{2}-6b-3}{2}$，
∵x₁+x₂+2x₁x₂=-14，∴b-5+2×$\frac{^{2}-6b-3}{2}$=-14，
即b²-5b+6=0，解得b=2或b=3，成立，
∴所求的直線方程為y=-x+2或y=-x+3．

點(diǎn)評 本題考查了圓的切線方程的求法，直線與圓的方程的應(yīng)用，直線垂直的條件，韋達(dá)定理與設(shè)而不求法，考查函數(shù)與方程的思想，化簡、計(jì)算能力．