Question

19．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），若以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（sinθ-cosθ）=4，
（1）已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），寫出點(diǎn)M關(guān)于直線l對稱點(diǎn)M′的直角坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個動點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值與最大值．

Answer 1

分析 （1）把極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，利用垂直平分線的性質(zhì)即可得出．
（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域、和差公式即可得出．

解答 解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（sinθ-cosθ）=4，化為直角坐標(biāo)方程：x-y+4=0，
點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），化為直角坐標(biāo)方程：（2，2），
設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線l對稱點(diǎn)M′的直角坐標(biāo)（x，y），可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+2}{2}-\frac{y+2}{2}+4=0}\\{\frac{y-2}{x-2}×1=-1}\end{array}\right.$，解得x=-2，y=6．
∴點(diǎn)M關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)M'直角坐標(biāo)為（-2，6）；
（2）由已知可設(shè)Q$（\sqrt{3}cosα，sinα）$，利用點(diǎn)到直線距離公式可得：$d=\frac{{|\sqrt{3}cosα-sinα+4|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|2cos（α+\frac{π}{6}）+4|}}{{\sqrt{2}}}$∈$[\sqrt{2}，3\sqrt{2}]$，
那么到直線l的距離的最小值與最大值分別為$\sqrt{2}$與$3\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程互化、參數(shù)方程化為普通方程、垂直平分線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域、和差公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．