Question

已知有窮數(shù)列{a_n}共有2k項（整數(shù)k≥2），首項a₁=2。設該數(shù)列的前n項和為S_n，且a_n+1=（a-1）S_n+2（n=1，2，…，2k-1），其中常數(shù)a＞1，
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若，數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂（a₁a₂…a_n）（n=1，2，…，2k），求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中的數(shù)列{b_n}滿足不等式，求k的值。

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：當n=1時，a₂=2a，則；
當2≤n≤2k-1時，，
∴，即，
∴，
故數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ），得（n=1，2，…，2k），
∴，
（n = 1，2，…，2k），
即數(shù)列{b_n}的通項公式為（n=1，2，…，2k）；
（Ⅲ）設，解得，
又n為正整數(shù)，于是可得：當n≤k時，；當n≥k+1時，，




，
由，得，
又整數(shù)k≥2，
∴當k=2，3，4，5，6，7時，原不等式成立，
故k的值為2，3，4，5，6，7。