Question

19．設函數f（x）在（m，n）上的導函數為g（x），x∈（m，n），若g（x）的導函數小于零恒成立，則稱函數f（x）在（m，n）上為“凸函數”．已知當a≤2時，$f（x）=\frac{1}{6}{x^3}-\frac{1}{2}a{x^2}+x$，在x∈（-1，2）上為“凸函數”，則函數f（x）在（-1，2）上結論正確的是（　�。�

• A． 有極大值，沒有極小值
• B． 沒有極大值，有極小值
• C． 既有極大值，也有極小值
• D． 既無極大值，也沒有極小值

Answer 1

分析 求導，由題意可知：g′（x）=x-a＜0，g′（x）＜0，x∈（-1，2）時恒成立，求得a的值，根據導數與函數單調性與極值的關系，即可求得函數的極值．

解答 解：當a≤2時，$f（x）=\frac{1}{6}{x^3}-\frac{1}{2}a{x^2}+x$，求導，f′（x）=$\frac{1}{2}$x²-ax+1，
由已知得g′（x）=x-a＜0，當x∈（-1，2）時恒成立，
故a≥2，又已知a≤2，故a=2，
此時由f′（x）=0，得：x₁=2-$\sqrt{2}$，x₂=2+$\sqrt{2}$∉（-1，2），
當x∈（-1，2-$\sqrt{2}$）時，f′（x）＞0；當x∈（2-$\sqrt{2}$，2）時，f′（x）＜0，
∴函數f（x）在（-1，2）有極大值，沒有極小值，
故選A．

點評 本題考查導數的綜合應用，考查導數與函數單調性與極值的關系，函數凹凸性的判斷，考查轉化思想，屬于中檔題．