Question

f（x）是R上的函數(shù)，對于任意和實數(shù)a，b，都有f（ab）=af（b）+bf（a），且f（2）=1．
（1）求f（1），f（

1

2

）的值；
（2）令b_n=f（2^-n），求證：{2ⁿb_n}為等差數(shù)列；
（3）求{b_n}的通項公式．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先對a，b賦值1求出f（1），在利用f（1）=f（2×）即可求出f（

1

2

）的值；
（2）先利用條件找到2ⁿf（2^-n）=2^n-1f（2^1-n）-2^-1．再利用結(jié)論構(gòu)造出一個等差數(shù)列，問題得以證明，
（3）利用（2）的結(jié)論求出等差數(shù)列的通項進(jìn)而求出{b_n}的解析式．

解答： 解：（1）令a=b=1，
則f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
再令a=2，b=

1

2

，
則f（1）=2f（

1

2

）+

1

2

f（2），
∵f（2）=1．
∴f（

1

2

）=-

1

4

，
（2）f（2^-n）=f（2^-1•2^1-n）=2^-1f（2^1-n）+2^1-nf（2^-1），
∴2ⁿf（2^-n）=2^n-1f（2^1-n）-2^-1．
令c_n=2ⁿf（2^-n），
∴c_n=c_n-1-2^-1，
∴c_n-c_n-1=

1

2

，
∴{2ⁿb_n}為等差數(shù)列
（3）由（2）知，
∴數(shù)列{2ⁿb_n}是以公差d=-

1

2

，首項為2b₁=2f（

1

2

）=-

1

2

的等差數(shù)列，
∴2ⁿb_n=2b₁+（n-1）•（-

1

2

），
∴b_n=-

n

2n+1

．

點評：本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運用，主要涉及了函數(shù)的奇偶性，賦值法，等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義及通項．