Question

1．已知${（\sqrt{x}-\frac{2}{x^2}）^n}\;（n∈{N_+}）$的展開式中第五項系數(shù)與第三項的系數(shù)的比值是10．
（1）求展開式的各項系數(shù)和及二項式系數(shù)和；
（2）求展開式中x^-1的項的系數(shù)；
（3）求展開式中系數(shù)絕對值最大的項．

Answer 1

分析 通過展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比是10：1得到n值，然后求要求的特征項．

解答 解：（1）由題意，第五項系數(shù)和第三項系數(shù)比值是10，即$\frac{{C}_{n}^{4}•（-2）^{4}}{{C}_{n}^{2}•（-2）^{2}}$=10，
化簡得n²-5n-24=0，解得n=8或n=-3（舍去）．
（1）令x=1得各項系數(shù)和為（1-2）⁸=1；二項式系數(shù)和2⁸=256；
（2）通項公式為T_r+1=$（-2）^{r}{C}_{8}^{r}{x}^{4-\frac{5r}{2}}$，
令4-$\frac{5r}{2}$=-1，則r=2，
所以展開式中含x^-1的項的系數(shù)為112；
（3）由2^r-1C₈^r-1≥2^rC₈^r，2^r-1C₈^r-1≥2^r-2C₈^r-2，解得r=5或6，
∴展開式中系數(shù)絕對值最大的項為T₆=-1792${x}^{-\frac{17}{2}}$，T₇=1792x¹¹．

點評 本題考查了二項式定理的運用；關(guān)鍵是利用已知求出指數(shù)后，找出二項式的展開式通項，根據(jù)x的指數(shù)求特征項．