Question

10．如圖所示的多面體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE=2，M，N分別為AB，DE的中點．
（Ⅰ）求證：MN∥平面BCD；
（Ⅱ）求平面EMC與平面BCD所成的銳二面角的余弦值；
（Ⅲ）在線段CD上是否存在點F，使直線MF與平面EMC所成角為$\frac{π}{6}$，若存在，求出CF的長，若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明MN∥BD，即可證明：MN∥平面BCD；
（Ⅱ）以M為原點，分別以MB，MC為x，y軸，如圖建立坐標系M-xyz，求出相關點的坐標以及
平面EMC的一個法向量，設面DBC的一個法向量，通過空間向量的數量積求解平面EMC與平面BCD所成的銳二面角的余弦值．
（Ⅲ）設$\overrightarrow{CF}$=$λ\overrightarrow{CD}$=（$\sqrt{2}λ，-\sqrt{2}λ，2λ$），$\overrightarrow{MF}$=（$\sqrt{2}λ，-\sqrt{2}λ，2λ$），利用MF與平面EMC所成角為$\frac{π}{6}$，列出方程求出λ，即可得到點的位置．

解答 （Ⅰ）證明：∵EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，
∴AE∥BD，
∵M，N分別為AB，DE的中點，
∴MN∥BD，
∵MN?平面BCD，BD?平面BCD，
∴MN∥平面BCD；
（Ⅱ）解：以M為原點，分別以MB，MC為x，y軸，如圖建立坐標系M-xyz，
則M（0，0，0），C（0，$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}$，0，0），D（$\sqrt{2}$，0，2），E（-$\sqrt{2}$，0，1），
∴$\overrightarrow{ME}$=（-$\sqrt{2}$，0，1），$\overrightarrow{MC}$=（0，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{BD}$=（0，0，2），$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），
設平面EMC的一個法向量$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），則$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}{x}_{1}+{z}_{1}=0}\\{\sqrt{2}{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，所以$\overrightarrow{m}$=（1，0，$\sqrt{2}$）
設平面DBC的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），則$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}{x}_{2}+\sqrt{2}{y}_{2}=0}\\{2{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，所以$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
所以平面EMC與平面BCD所成的銳二面角的余弦值$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
（Ⅲ）解：設$\overrightarrow{CF}$=$λ\overrightarrow{CD}$=（$\sqrt{2}λ，-\sqrt{2}λ，2λ$），$\overrightarrow{MF}$=（$\sqrt{2}λ，-\sqrt{2}λ，2λ$），
∵$\overrightarrow{m}$=（1，0，$\sqrt{2}$），∴cos＜$\overrightarrow{MF}$，$\overrightarrow{m}$＞=$\frac{3\sqrt{2}λ}{\sqrt{3}•\sqrt{8{λ}^{2}-4λ+2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$λ=\frac{1}{4}$，
∴在線段CD上是否存在點F，使直線MF與平面EMC所成角為$\frac{π}{6}$，CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$

點評 本題考查直線與平面平行的判斷與性質定理的應用，二面角的平面角以及直線與平面所成角的處理方法，空間向量的數量積的應用．