精英家教網(wǎng)在三棱錐P-ABC中,AB⊥AC,AC=4,AB=4
3
,VP-ABC=16
3
,側(cè)棱PA、PB、PC與底面ABC所成的角相等.
(Ⅰ)求二面角P-AC-B的大小;
(Ⅱ)求點B到平面PAC的距離.
分析:(Ⅰ)由已知,p在平面ABC內(nèi)的射影是Rt△ABC的外心,即斜邊BC的中點O.取AC的中點D,連PD,DO,PO,根據(jù)三垂線定理,∠PDO 為所求,再解三角形求出二面角的大小即可.
(Ⅱ)利用等體積變換,VP-ABC=VB-PAC=
1
3
S△APC•h
,其中點B到平面PAC的距離,求出三角形PAC的面積,代入求解即可.
解答:解:精英家教網(wǎng)(Ⅰ)∵側(cè)棱PA、PB、PC與底面ABC所成的角相等,
∴點P在平面ABC內(nèi)的射影是Rt△ABC的外心,即斜邊BC的中點O
取AC的中點D,連PD,DO,PO,則VP-ABC=
1
3
(
1
2
•AC•AB)•OP=
1
3
(
1
2
•4•4
3
)•OP=16
3
,
∴OP=6.∵OP⊥平面ABC,
∴OD是PD在平面ABC內(nèi)的射影,
∵AC⊥OD,∴AC⊥PD.∴∠PDO為二面角P-AC-B的平面角. 
在Rt△POD中,tan∠PDO=
OP
OD
=
3
,
∠PDO=
π
3
,
故二面角P-AC-B的大小為
π
3
. 
(Ⅱ)∵AC=4,PD=
OP2+OD2
=4
3
,
S△APC=
1
2
AC•PD=8
3

設(shè)點B到平面PAC的距離為h,則由VP-ABC=
1
3
S△APC•h=16
3

解方程得h=6,∴點B到平面PAC的距離等于6.
點評:本題考查二面角、點到平面距離的計算,考查學(xué)生空間想象能力,計算能力、轉(zhuǎn)化能力.空間問題平面化,是解決空間問題最核心的思想方法. 在點到平面距離的計算問題中,利用等體積變換也是常用方法,好處在于不用具體作出點到面的垂線段.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=AB=
2
PC=
2
AC=
2
BC

(Ⅰ)求證:PA⊥BC; 
(Ⅱ)求二面角P-AB-C所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在三棱錐P-ABC中,AB=3,BC=4,AC=5,PA=1  面PAB⊥面CAB,面PAC⊥面CAB,則三棱錐P-ABC的體積是(  )

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精英家教網(wǎng)在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC.
(1)若∠BAC=
π3
,AB=AC=PA=2,E、F分別為棱AB、PC的中點,求線段EF的長;
(2)求證:“∠PBC=90°”的充要條件是“平面PBC⊥平面PAB”.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•蚌埠二模)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABC,D,E分別為AB,AC中點.
(I)求證:DE∥面PBC;
(II)求證:AB⊥PE;
(III)求三棱錐B-PEC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D為側(cè)棱PC上一點,它的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示.
(1)證明:AD⊥平面PBC;
(2)求三棱錐D-ABC的體積.

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