Question

4．已知向量$\overrightarrow{m}$=（a，1-b），$\overrightarrow{n}$=（b，1）（a＞0，b＞0），若$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，則$\frac{1}{a}$+4b的最小值為9．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由于$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，則有$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=ab+（1-b）=0，變形可得a=$\frac{b-1}$，將其代入$\frac{1}{a}$+4b，變形可得$\frac{1}{a}$+4b=5+$\frac{1}{b-1}$+4（b-1），由基本不等式分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，量$\overrightarrow{m}$=（a，1-b），$\overrightarrow{n}$=（b，1）（a＞0，b＞0），
若$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，則有$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=ab+（1-b）=0，變形可得a=$\frac{b-1}$，
又由a＞0，b＞0，即$\frac{b-1}$＞0且b＞0，解可得b＞1，
則$\frac{1}{a}$+4b=$\frac{b-1}$+4b=5+$\frac{1}{b-1}$+4（b-1）≥5+2$\sqrt{4}$=9，
即$\frac{1}{a}$+4b的最小值為9；
故答案為：9

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是分析得到a、b的關(guān)系，進(jìn)而變形，配湊基本不等式的條件．