Question

12．某單位共有10名員工，他們某年的收入如表：

員工編號(hào)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
年薪（萬(wàn)元）	4	4.5	6	5	6.5	7.5	8	8.5	9	51

（1）求該單位員工當(dāng)年年薪的平均值和中位數(shù)；
（2）從該單位中任取2人，此2人中年薪收入高于7萬(wàn)的人數(shù)記為ξ，求ξ的分布列和期望；
（3）已知員工年薪收入與工作年限成正相關(guān)關(guān)系，某員工工作第一年至第四年的年薪分別為4萬(wàn)元，5.5萬(wàn)元，6萬(wàn)元，8.5萬(wàn)元，預(yù)測(cè)該員工第五年的年薪為多少？
附：線性回歸方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$中系數(shù)計(jì)算公式分別為：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{7}{5}=1.4$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$，其中$\overline x，\overline y$為樣本均值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)計(jì)算該單位員工當(dāng)年年薪的平均值和中位數(shù)；
（2）ξ取值為0，1，2，求出相應(yīng)的概率，即可求ξ的分布列和期望；
（3）求出線性回歸方程，根據(jù)回歸方程預(yù)測(cè)．

解答 解：（1）平均值為11萬(wàn)元，中位數(shù)為$\frac{6.5+7.5}{2}$=7萬(wàn)元．
（2）年薪高于7萬(wàn)的有5人，低于或等于7萬(wàn)的有5人；ξ取值為0，1，2.$P（ξ=0）=\frac{C_5^2}{{C_{10}^2}}=\frac{2}{9}$，$P（ξ=1）=\frac{C_5^1C_5^1}{{C_{10}^2}}=\frac{5}{9}$，$P（ξ=2）=\frac{C_5^2}{{C_{10}^2}}=\frac{2}{9}$，
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{5}{9}$	$\frac{2}{9}$

數(shù)學(xué)期望為$Eξ=0×\frac{2}{9}+1×\frac{5}{9}+2×\frac{2}{9}=1$．
（3）設(shè)x_i，y_i（i=1，2，3，4）分別表示工作年限及相應(yīng)年薪，則$\overline{x}=2.5，\overline{y}=6$，$\sum_1^4{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}=2.25+0.25+0.25+2.25=5$$\sum_{i=1}^4{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\bar y）}=-1.5×（-2）+（-0.5）×（-0.5）+0.5×0+1.5×2.5=7$
$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{7}{5}=1.4$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=6-1.4×2.5=2.5$，
得線性回歸方程：y=1.4x+2.5．
可預(yù)測(cè)該員工第5年的年薪收入為9.5萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概型的概率計(jì)算，求ξ的分布列和期望，線性回歸方程的解法及應(yīng)用，屬于中檔題．