Question

【題目】如圖，拋物線的頂點在坐標原點，焦點在軸負半軸上，過點作直線與拋物線相交于兩點，且滿足.

（1）求直線和拋物線的方程；

（2）當拋物線上一動點從點運動到點時，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）直線的方程為，拋物線方程為（2）

【解析】

(1)設直線的方程為,拋物線方程為,再聯(lián)立方程利用韋達定理表達,繼而求得直線的斜率與方程.

(2)根據(jù)當拋物線過點的切線與平行時,面積最大,利用導數(shù)的幾何意義求解.或者設點,再表達出面積根據(jù)參數(shù)的范圍分析面積表達式再求最值即可.

（1）據(jù)題意可設直線的方程為,

拋物線方程為

由,

得,.

設點,

則,.

所以

因為,

所以,解得

故直線的方程為,拋物線方程為.

（2）解法一：據(jù)題意,當拋物線過點的切線與平行時,面積最大

設點,因為,

由,所以.

此時,點到直線的距離.

由,得,.

所以

.

故面積的最大值為.

解法二：由,得,.

所以

.

設點,點到直線的距離為,

則,

當時,,此時點.

故面積的最大值為.