Question

如圖，PA、PB、PC兩兩垂直，PA=PB=PC，G是△PAB的重心，E是BC上的一點(diǎn)，且BE=BC，F(xiàn)是PB上的一點(diǎn)，且PF=PB．
求證：
（1）GF⊥平面PBC；
（2）FE⊥BC；

Answer 1

證明：（1）連接BG和PG，并延長(zhǎng)分別交PA、AB于M和D，在△PBM中，
∵PF=PB，G是△PAB的重心，（4分）
∴MG=BM，∴GF∥PM．又PA⊥PB，PA⊥PC，
∴PA⊥平面PBC，則GF⊥平面PBC．（7分）

（2）在EC上取一點(diǎn)Q使CQ=BC，（9分）
連接FQ，又PF=PB，
∴FQ∥PC．
∵PB=PC，
∴FB=FQ．（12分）
∵BE=BC，
∴E是BQ的中點(diǎn)，
∴FE⊥BQ，即FE⊥BC．（14分）
分析：（1）要證明GF⊥平面PBC，只需證明PA⊥PB，PA⊥PC，推出PA⊥平面PBC，則GF⊥平面PBC；
（2）在EC上取一點(diǎn)Q使CQ=BC，連接FQ，要證明FE⊥BC，只需證明FE⊥BQ即可；
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面平行的判定，直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，考查邏輯思維能力，空間想象能力，是中檔題．