Question

8．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：a_n-1+a_n+1＞2a_n（n＞1，n∈N^*），給出下述命題：
①若數(shù)列{a_n}滿足：a₂＞a₁，則a_n＞a_n-1（n＞1，n∈N^*）成立；
②存在常數(shù)c，使得a_n＞c（n∈N^*）成立；
③若p+q＞m+n（其中p，q，m，n∈N^*），則a_p+a_q＞a_m+a_n；
④存在常數(shù)d，使得a_n＞a₁+（n-1）d（n∈N^*）都成立．
上述命題正確的有（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 由a_n-1+a_n+1＞2a_n（n＞1，n∈N^*），得a_n+1-a_n＞a_n-a_n-1（n＞1，n∈N^*）或a_n-1-a_n＞a_n-a_n+1（n＞1，n∈N^*）．然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性逐一核對(duì)四個(gè)命題得答案．

解答 解：由a_n-1+a_n+1＞2a_n（n＞1，n∈N^*），得
a_n+1-a_n＞a_n-a_n-1（n＞1，n∈N^*）或a_n-1-a_n＞a_n-a_n+1（n＞1，n∈N^*）．
即數(shù)列函數(shù){a_n}為增函數(shù)，且連接相鄰兩點(diǎn)連線的斜率逐漸增大，
或數(shù)列函數(shù){a_n}為減函數(shù)，且連接相鄰兩點(diǎn)連線的斜率逐漸增大．
對(duì)于①，若a₂＞a₁，則數(shù)列函數(shù){a_n}為增函數(shù)，∴a_n＞a_n-1（n＞1，n∈N^*）成立，正確；
對(duì)于②，若數(shù)列函數(shù){a_n}為減函數(shù)，則命題錯(cuò)誤；
對(duì)于③，若數(shù)列函數(shù){a_n}為減函數(shù)，則命題錯(cuò)誤；
對(duì)于④，若數(shù)列函數(shù){a_n}為減函數(shù)，則命題錯(cuò)誤．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式、函數(shù)單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．