【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣ax﹣1,a∈R.
(1)當a=2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)設a≤0,求證:x≥0時,f(x)≥x2.
【答案】(1)f(x)在(﹣∞,ln2)上單調(diào)遞減,在(ln2,+∞)上單調(diào)遞增(2)證明見解析
【解析】
(1)將代入,求函數(shù)的導函數(shù),由函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)即可求解.
(2)利用分析法,將不等式轉化為f(x)﹣x2=ex﹣ax﹣1﹣x2≥0恒成立,
令g(x)=ex﹣ax﹣1﹣x2,研究的單調(diào)性即可證明.
(1)解:當a=2時,f(x)=ex﹣2x﹣1;
f′(x)=ex﹣2;
當f′(x)=0時,x=ln2;
∴f(x)在(﹣∞,ln2)上單調(diào)遞減,在(ln2,+∞)上單調(diào)遞增;
(2)證明:令g(x)=f(x)﹣x2;
即證當x≥0時,g(x)=f(x)﹣x2=ex﹣ax﹣1﹣x2≥0恒成立;
g′(x)=ex﹣2x﹣a;
令h(x)=g′(x),則h′(x)=ex﹣2;
由第(1)問可知,h(x)min=h(ln2)=2﹣2ln2﹣a;
∵a≤0;
∴h(ln2)>0;
∴g′(x)>0,即g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增;
∴g(x)≥g(0)=0;
∴當x≥0時,f(x)≥x2.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,且點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)若橢圓的焦點在軸上,點為坐標原點,射線、分別與橢圓交于點、點,且,試判斷直線與圓:的位置關系,并證明你的結論.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓的離心率為,右焦點到直線的距離為1.
求橢圓的標準方程;
若P為橢圓上的一點點P不在y軸上,過點O作OP的垂線交直線于點Q,求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,中心為坐標原點O的兩圓半徑分別為,,射線OT與兩圓分別交于A、B兩點,分別過A、B作垂直于x軸、y軸的直線、,交于點P.
(1)當射線OT繞點O旋轉時,求P點的軌跡E的方程;
(2)直線l:與曲線E交于M、N兩點,兩圓上共有6個點到直線l的距離為時,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若數(shù)列同時滿足條件:①存在互異的使得(為常數(shù));
②當且時,對任意都有,則稱數(shù)列為雙底數(shù)列.
(1)判斷以下數(shù)列是否為雙底數(shù)列(只需寫出結論不必證明);
①; ②; ③
(2)設,若數(shù)列是雙底數(shù)列,求實數(shù)的值以及數(shù)列的前項和;
(3)設,是否存在整數(shù),使得數(shù)列為雙底數(shù)列?若存在,求出所有的的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形中,,,四邊形為矩形,且平面,.
(1)求證:平面;
(2)點在線段上運動,當點在什么位置時,平面與平面所成銳二面角最大,并求此時二面角的余弦值.
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