Question

已知函數(shù)f（x）=px+1（p為常數(shù)）
（1）若點（1，2），（a_n，a_n+1）（n∈N^*）都在函數(shù)f（x）的圖象上，證明：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）若點（2ⁿ，b_n+n）（n∈N^*）在函數(shù)f（x）的圖象上，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意列出方程求得p，由等差數(shù)列的定義可得數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，即可求得結(jié)論；
（2）b_n=p•2ⁿ+1-n，利用分組法求數(shù)列的和．

解答： 解：（1）因為點（1，2）在函數(shù)f（x）的圖象上，則2=p+1，∴p=1，∴f（x）=x+1 …（2分）
又因為點（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）的圖象上，
∴a_n+1=a_n+1，即a_n+1-a_n=1．…（4分）
∴數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列．…（5分）
（2）因為點（2ⁿ，b_n+n）（n∈N^*）在函數(shù)f（x）的圖象上，
∴b_n+n=p•2ⁿ+1，即b_n=p•2ⁿ+1-n．…（7分）
∴s_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=p•2+（p•2²-1）+（p•2³-1）+…+（p•2ⁿ-n）
=p•（2+2²+2³+…+2ⁿ）-[1+2+3+…+（n-1）]
=p•（2ⁿ⁺¹-2）-

n(n-1)

2

．…（10分）

點評：本題考查等差數(shù)列的定義及等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和知識，考查學(xué)生方程思想及分組法求和的運用能力，屬于中檔題．